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设数列的前n项和为,且.(I)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列的前n项和为,对任意,比较与的大小.____
更新时间:2024-04-20 17:23:44
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问题描述:

设数列的前n项和为,且.

(I)求数列的通项公式;

(Ⅱ)设数列的前n项和为,对任意,比较与的大小.____

孙峻回答:
  【分析】(Ⅰ)由Sn=2an-1和Sn+1=2an+1-1相减得an+1=2an+1-2an,所以,由此可求出数列{an}的通项公式.   (Ⅱ)由题设知Tn=1•2n+2•21+3•22+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1,由错位相减求和法可知Tn=n•2n-2n+1.所以,再分n=1,n=2和n>2三种情况讨论与Sn的大小关系.   (Ⅰ)由Sn=2an-1,得   Sn+1=2an+1-1,   相减得:an+1=2an+1-2an,   ∴.   又S1=2a1-1,   ∴a1=2a1-1,a1=1,   ∴an=2n-1.(5分)   (Ⅱ)Tn=1•20+2•21+3•22+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1①   2Tn=1•2+2•22+…+(n-2)•2n-2+(n-1)•2n-1+n•2n②   ①-②得=1+2+22+…+2n-2+2n-1-n•2n,   则Tn=n•2n-2n+1.(9分)   ∴,   ∴当n=1时,,当n=2时,,   即当n=1或2时,,   当n>2时,.(13分)   【点评】本题考查数列的性质、应用和通项公式的求法,解题时要注意错位相减求和法、分类讨论思想的灵活运用.
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