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【找数学表达式Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+……n/2^n求Sn】
更新时间:2024-04-19 09:48:06
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问题描述:

找数学表达式

Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+……n/2^n

求Sn

李金库回答:
  1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6   证法一   n^2=n(n+1)-n   1^2+2^2+3^2+.+n^2   =1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n   =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)   由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3   所以1*2+2*3+...+n(n+1)   =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3   [前后消项]   =[n(n+1)(n+2)]/3   所以1^2+2^2+3^2+.+n^2   =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2   =n(n+1)[(n+2)/3-1/2]   =n(n+1)[(2n+1)/6]   =n(n+1)(2n+1)/6   证法二   利用立方差公式   n^3-(n-1)^3   =1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]   =n^2+(n-1)^2+n^2-n   =2*n^2+(n-1)^2-n   2^3-1^3=2*2^2+1^2-2   3^3-2^3=2*3^2+2^2-3   4^3-3^3=2*4^2+3^2-4   .   n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n   各等式全部相加   n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)   n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)   n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1   n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2   3(1^2+2^2+...+n^2)   =n^3+n^2+n(n+1)/2   =(n/2)(2n^2+2n+n+1)   =(n/2)(n+1)(2n+1)   1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
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