已知圆C经过A(5,1)、B(1,3)两点,圆心在x轴上.若过点P(1,0)的直线交圆C于点E、F,求弦EF中点M的轨迹方程
更新时间：2024-04-24 01:49:24
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问题描述：
已知圆C经过A(5,1)、B(1,3)两点,圆心在x轴上.若过点P(1,0)的直线交圆C于点E、F,求弦EF中点M的轨迹方程
刘勇奎回答：
已知圆C经过A(5,1)、B(1,3)两点,圆心在x轴上.若过点P(1,0)的直线交圆C于点E、F,求弦EF中点M的轨迹方程
设园心坐标为(m,0),半径为R,那么园的方程为(x-m)²+y²=R².(1)
将A、B的坐标代入得：
(5-m)²+1=R²,即有m²-10m+26=R².(2)
(1-m)²+9=R²,即有m²-2m+10=R².(3)
(3)-(2)得8m-16=0,故m=2,代入(3)式得R²=10；
于是得园的方程为(x-2)²+y²=10.(4)
设过点P（1,0)的直线的方程为y=k(x-1),代入(4)式得：
(x-2)²+k²(x-1)²=10；展开化简得(1+k²)x-2(2+k²)x+k²-6=0；
设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)；那么由韦达定理有：
x₁+x₂=2(2+k²)/(1+k²)；
y₁+y₂=k(x₁-1)+k(x₂-1)=k(x₁+x₂)-2k=2k(2+k²)/(1+k²)-2k=2k/(1+k²)；
设弦EF的中点的坐标为(x,y),则：
x=(x₁+x₂)/2=(2+k²)/(1+k²).(5)；
y=(y₁+y₂)/2=k/(1+k²).(6)；
(5)和(6)就是点M的轨迹的参数方程；消去参数k:：
由(5)得x=1+1/(1+k²),即有1/(1+k²)=x-1,代入(6)式得y=k(x-1)；故得k=y/(x-1).(7)
将(7)代入(6)式即得：
y=[y/(x-1)]/[1+y²/(x-1)²]
化简得x²-3x+y²+2=0,即(x-3/2)²+y²=1/4为所求.
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