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高中数学题已知圆o的方程为x^2+y^2=16.高中数学题已知圆o的方程为x^2+y^2=16.过点N(3,0)作直线与圆O交于A,B两点,求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率
更新时间:2024-04-25 09:29:06
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问题描述:

高中数学题已知圆o的方程为x^2+y^2=16.

高中数学题已知圆o的方程为x^2+y^2=16.过点N(3,0)作直线与圆O交于A,B两点,求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率

李红词回答:
  设过点N的直线x=my+3   代入圆的方程x²+y²=4   m²y²+6my+9+y²=4   (m²+1)y²+6my+5=0   y1+y2=-6m/(m²+1)   y1*y2=5/(m²+1)   S△OAB=1/2*3/√(1+m²)*√(1+m²)[(y1+y2)²-4y1y2]   =3/2*√[(36m²/(m²+1)²-20/(m²+1)]   令t=36m²/(m²+1)²-20/(m²+1)   t=(36m²-20m²-20)/(m²+1)²   =16(m²-5/4)/(m²+1)²   =16(m²+1-9/4)/(m²+1)²   =16/(m²+1)-36/(m²+1)²   令1/(m²+1)=s   t=16s-36s²=-36(s²-4/9s)=-36(s-2/9)²+16/9   当s=2/9即1/(m²+1)=2/9时   m=±√(7/2)   t最大值=16/9此时S三角形AOB的最大值=3/2×4/3=2   直线斜率为k=1/m=±√(2/7)=±√14/7
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