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如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,2014-06-14知******|初中数学如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上,且AH=2,连接CF,!(1
更新时间:2024-03-28 17:51:45
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问题描述:

如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,

2014-06-14知******|初中数学

如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上,且AH=2,连接CF,!

(1)当DG=2时,求证:菱形EFGH为正方形;

(2)设DG=x,试用含x的代表式表示△FCG的面积;

孙娆琴回答:
  (1)∵正方形ABCD中,AH=2,   ∴DH=4,   ∵DG=2,   ∴HG=2   5   ,即菱形EFGH的边长为2   5   .   在△AHE和△DGH中,   ∵∠A=∠D=90°,AH=DG=2,EH=HG=2   5   ,   ∴△AHE≌△DGH(HL),   ∴∠AHE=∠DGH,   ∵∠DGH+∠DHG=90°,   ∴∠DHG+∠AHE=90°,   ∴∠GHE=90°,即菱形EFGH是正方形,   同理可以证明△DGH≌△CFG,   ∴∠FCG=90°,即点F在BC边上,同时可得CF=2,   从而S△FCG=   1   2   ×4×2=4.(2分)   (2)作FM⊥DC,M为垂足,连接GE,   ∵AB∥CD,   ∴∠AEG=∠MGE,   ∵HE∥GF,   ∴∠HEG=∠FGE,   ∴∠AEH=∠MGF.   在△AHE和△MFG中,   ∠A=∠M   ∠AEH=∠FGM   HE=FG   ∴△AHE≌△MFG(AAS),   ∴FM=HA=2,   即无论菱形EFGH如何变化,点F到直线CD的距离始终为定值2.   因此S△FCG=   1   2   ×2×(6-x)=6-x.(6分)
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