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【轨迹方程数学题已知圆C:x^2+(y-1)^2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对m∈R,直线l圆C总有两个不同的交点.(2)设l与圆C交于不同两点A,B若|AB|=根号17,求l的倾斜角.(3)求弦AB的中点M的轨迹方程.(4)若定点P(1】
更新时间:2024-03-29 17:45:31
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问题描述:

轨迹方程数学题

已知圆C:x^2+(y-1)^2=5,直线l:mx-y+1-m=0.

(1)求证:对m∈R,直线l圆C总有两个不同的交点.

(2)设l与圆C交于不同两点A,B若|AB|=根号17,求l的倾斜角.

(3)求弦AB的中点M的轨迹方程.

(4)若定点P(1,1)分向量AB之比λ=1/2(即向量AP=λ向量PB),求此时直线l的方程.

马江洪回答:
  1.用点到直线距离公式   则距离   d=|0*m-1+1-m|/(根号(m²+1)=|m|/(m²+1)   =1/(|m|+1/|m|)   因为|m|≥0由均值不等式   所以|m|+1/|m|≥2   所以   d=1/(|m|+1/|m|)∈(0,1/2】<圆半径根号5   所以对m∈R,直线l圆C总有两个不同的交点.   2.圆的半径=根号5,由|AB|=根号17,   可得圆心到直线的距离=根号下[r^2-(AB一半)^2]=二分之根号3   圆心坐标C(0,1)   圆心到直线的距离d=|m*0-1+1-m|÷根号(1+m^2)=二分之根号3   解得:m1=根号3m2=-根号3   又直线斜率k=m   所以倾斜角a=arctanm   所以a1=arctan根号3=60度   a2=arctan(-根号3)=120度   3.设A(x1,y1)B(x2,y2)   l:m(x-1)+1   x1^2+(y1-1)^2=5   x2^2+(y2-1)^2=5   所以(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-2)(y1-y2)=0   设M(x,y)   则2x=x1+x2,2y=y1+y2   所以2x=(2y-2)m=0   又m=(y-1)/(x-1)   2x=(2y-2)(y-1)/(x-1)   整理得x^2+y^2-x-2y+1=0   4.作CD垂直AB于D   △CDP中PD^2=1-CD^2   △DCA中AD^2=5-CD^2   AD-3PD   所以PD=根号2/2   |-1+1-m|/根号(m^2+1)=根号2/2   m=正负1   y=x或y=2-x
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