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设函数(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(Ⅰ)求f(x)的解析式:(Ⅱ)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;(Ⅲ)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线
更新时间:2024-04-25 21:59:25
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问题描述:

设函数(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.

(Ⅰ)求f(x)的解析式:

(Ⅱ)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;

(Ⅲ)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.____

郭成果回答:
  【分析】(I)欲求在点(1,1)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.   (Ⅱ)由函数y1=x,都是奇函数.可得和函数也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.再按向量a=(1,1)平移,即得到函数f(x)的图象,故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.   (Ⅲ)先在曲线上任取一点.利用导数求出过此点的切线方程为,令x=1得切线与直线x=1交点.令y=x得切线与直线y=x交点.从而利用面积公式求得所围三角形的面积为定值.   (Ⅰ),   于是   解得或   因a,b∈Z,故.   (Ⅱ)证明:已知函数y1=x,都是奇函数.   所以函数也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.   而.可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到函数f(x)的图象,   故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.   (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点.   由知,过此点的切线方程为.   令x=1得,切线与直线x=1交点为.   令y=x得y=2x0-1,切线与直线y=x交点为(2x0-1,2x0-1).   直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).   从而所围三角形的面积为.   所以,所围三角形的面积为定值2.   【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
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