【一个线性代数的问题题上给了个二次型,然后说求二次型|x拔|＝x1^2+x2^2+x3^2=1时候的最小值,答案说是取A的最小特征值对应的特征向量时,f的值最小,为什么?】
更新时间：2024-04-17 01:18:38
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问题描述：
一个线性代数的问题
题上给了个二次型,然后说求二次型|x拔|＝x1^2+x2^2+x3^2=1时候的最小值,答案说是取A的最小特征值对应的特征向量时,f的值最小,为什么?
沈霄凤回答：
你这个题叙述得不太清楚啊,姑且当作是这样的吧：
f是一个二次型,A是相应的对称矩阵,然后求f在单位球面上的最小值.
那么可以这么做：实际上f(x)=x'Ax,于是利用对称阵可对角化,不妨设A=diag{a,b,c},a>=b>=c.将x按照A的单位正交特征向量为基展开,x=uy1+vy2+wy3,则f(x)=au^2+bv^2+cw^2>=c(u^2+v^2+w^2)=c,等式成立当且仅当(a-c)u^2=(b-c)v^2=0.整理一下即得所求
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