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(2013•黄石)如图1,点C将线段AB分成两部分,如果ACAB=BCAC,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金
更新时间:2024-04-19 20:40:14
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问题描述:

(2013•黄石)如图1,点C将线段AB分成两部分,如果ACAB=BCAC,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1、S2,如果S1S=S2S1,那么称直线l为该图形的黄金分割线.

(1)如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠C的平分线交AB于点D,请问点D是否是AB边上的黄金分割点,并证明你的结论;

(2)若△ABC在(1)的条件下,如图3,请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线,并证明你的结论;

(3)如图4,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90°,对角线AC、BD交于点F,延长AB、DC交于点E,连接EF交梯形上、下底于G、H两点,请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线,并证明你的结论.

何家祥回答:
  (1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°.∵CD是角平分线,∴∠ACD=∠BCD=36°,∴∠A=∠ACD,∴AD=CD.∵∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°,∴∠CDB=∠B,∴BC=CD.∴BC=AD.在△...
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