【正方体ABCD-A’B‘C’D‘棱长为1,E是BB‘的中点,F是B'C'的中点（1）求证D'F‖平面A'DE（2）求二面角A-DE-A'的余弦值】
更新时间：2024-04-21 00:32:29
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问题描述：
正方体ABCD-A’B‘C’D‘棱长为1,E是BB‘的中点,F是B'C'的中点
（1）求证D'F‖平面A'DE（2）求二面角A-DE-A'的余弦值
骆英回答：
(1)取BC中点G,连结EG、DG.因为EG//A1D,所以A1、D、G、E四点共面.
所以,DG在平面A1DE内.又D1F不在平面A1DE内,且D1F//DG.所以,D1F//平面A1DE.
(2)连结AE.三角形A1DE全等三角形ADE(三边相等).
作A1H垂直DE,垂足为H,连结AH,则AH垂直DE.所以角A1HA是二面角A-DE-A1的平面角.
在三角形ADE中,AD=1、DE=3/2、AE=√5/2.
AD^2-DH^2=AE^2-(3/2-DH)^2,DH=2/3.
AH^2=AD^2-DH^2=1-4/9=5/9,A1H=AH=√5/3.
在三角形AHA1中,cosAHA1=(AH^2+A1H^2-AA1^2)/(2AH*A1H)=1/10.
所以,二面角A-DE-A1的余弦值为1/10.
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