设Q(a,b)
x+y=2斜率是-1
所以QN斜率是1
所以QN是y-b=x-a
所以交点N[(a-b+2)/2,(b-a+2)/2]
设P(x,y)
则x=[a+(a-b+2)/2]/2
y=[b+(b-a+2)/2]/2
求出a和b,用x,y表示
Q在双曲线上
所以a²-b²=1
代入即可
设Q点坐标为(a,b),过Q点的直线QN与直线x+y=2垂直;
因为直线x+y=2斜率是-1,所以QN斜率是1,可设直线QN的方程是y=x+m
将Q(a,b)代入可得,m=b-a,所以直线QN的方程是y=x+b-a
将直线QN的方程,与双曲线方程x2-y2=1联立,
可得,x=(a-b+2)/2,y=(b-a+2)/2
即交点N的坐标为[(a-b+2)/2,(b-a+2)/2]
设P(x,y),因为P为线段QN的中点,
所以,
x=[a+(a-b+2)/2]/2
y=[b+(b-a+2)/2]/2
上述2个等式中,可得
a=(3x+y-2)/2
b=(x+3y-2)/2
因为点Q(a,b)在双曲线x²-y²=1上
所以a²-b²=1
将a、b代入上方程即得
(3x+y-2)²/4-(x+3y-2)²/4=1
即为线段QN中点P的轨迹方程,x取值范围不受限。