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【江苏高考高中数学解析几何如图所示,从双曲线x²-y²=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。要求答题规范,完整,作例题用的。。。】
更新时间:2024-04-26 21:28:14
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问题描述:

江苏高考高中数学解析几何

如图所示,从双曲线x²-y²=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。

要求答题规范,完整,作例题用的。。。

黄玲玲回答:
  设Q(a,b)   x+y=2斜率是-1   所以QN斜率是1   所以QN是y-b=x-a   所以交点N[(a-b+2)/2,(b-a+2)/2]   设P(x,y)   则x=[a+(a-b+2)/2]/2   y=[b+(b-a+2)/2]/2   求出a和b,用x,y表示   Q在双曲线上   所以a²-b²=1   代入即可
刘敏层回答:
  设Q点坐标为(a,b),过Q点的直线QN与直线x+y=2垂直;   因为直线x+y=2斜率是-1,所以QN斜率是1,可设直线QN的方程是y=x+m   将Q(a,b)代入可得,m=b-a,所以直线QN的方程是y=x+b-a   将直线QN的方程,与双曲线方程x2-y2=1联立,   可得,x=(a-b+2)/2,y=(b-a+2)/2   即交点N的坐标为[(a-b+2)/2,(b-a+2)/2]   设P(x,y),因为P为线段QN的中点,   所以,   x=[a+(a-b+2)/2]/2   y=[b+(b-a+2)/2]/2   上述2个等式中,可得   a=(3x+y-2)/2   b=(x+3y-2)/2   因为点Q(a,b)在双曲线x²-y²=1上   所以a²-b²=1   将a、b代入上方程即得   (3x+y-2)²/4-(x+3y-2)²/4=1   即为线段QN中点P的轨迹方程,x取值范围不受限。
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