定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0，f（x）＞0，（1）求证：f（x）为奇函数；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）解不等式：f[log2(x+1x+6)]+f(−3)≤0
更新时间：2024-04-28 02:22:29
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问题描述：
定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0，f（x）＞0，
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）解不等式：f[log2(x+
胡宏勋回答：
（1）令x=y=0，则f（0）=0，令y=-x，
则f（x）+f（-x）=f（0）=0，⇒f（-x）=-f（x），
且函数y=f（x）的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数
（2）f（x）为R上的单调增函数，设x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）＞0，
f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1）＞f（x1）
∴f（x）为R上的单调增函数
（3）由（1）知f（0）=0及f（x）在R上单调递增
∴原不等式等价于f[log
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