（2012•临夏州）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象
更新时间：2024-04-27 06:57:00
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问题描述：
（2012•临夏州）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
孙锦涛回答：
（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=23；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=23，
∴∠COH=60°，OH=3，CH=3；
∴C点坐标为（3，3）．
（2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（3，3）、A（23，0）两点，
∴3＝3a+3b0＝12a+23b，
解得a＝−1b＝23；
∴此抛物线的函数关系式为：y=-x2+23x．
（3）存在．
∵y=-x2+23x的顶点坐标为（3，3），
即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=3t，
∴P（3t，t）；
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；
把x=3t代入y=-x2+23x，
得y=-3t2+6t，
∴M（3t，-3t2+6t），E（3，-3t2+6t），
同理：Q（3，t），D（3，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，
即3-（-3t2+6t）=t-1，
解得t=30，t=1（舍），
∴P点坐标为（303，30），
∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（303，30）．
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