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问一道关于微分中值定理的数学题设函数f(x)在[0,1]上连续,在区间(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0),证明在(0,1)内至少存在一点m,使得(1+m)f'(m)=f(m)成立.要用微分中值定理来做,
更新时间:2024-04-28 09:23:40
3人问答
问题描述:

问一道关于微分中值定理的数学题

设函数f(x)在[0,1]上连续,在区间(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0),证明在(0,1)内至少存在一点m,使得(1+m)f'(m)=f(m)成立.

要用微分中值定理来做,

何鹏回答:
  设g(x)=lnf(x)-ln(1+x).g(0)=lnf(0),g(1)=lnf(1)-ln2=ln(f(1))/2,g(0)=g(1),在[0,1]满足罗尔定理故存在m属于(0,1),使得g′(m)=0而g′(x)=f′(x)/f(x)-1/(1+x),所以f′(m)/f(m)-1/(1+m)=0,即,(1+m)f'(m)=f(m)成立...
陆虎回答:
  谢谢,不过还想问一下,你是怎么想到g(x)=lnf(x)-ln(1+x)这个函数的?思路是什么?
何鹏回答:
  从结论入手(1+m)f'(m)=f(m),变成f′(m)/f(m)-1/(1+m)=0,继续变形f′(m)/f(m)=1/(1+m)这是f′(x)/f(x)=1/(1+x)在m点的值。寻找那个函数的导数是这样的。lnf(x)求导就是f′(x)/f(x),ln(1+x)的导数是1/(1+x),所以原来的等式就是lnf(x)=ln(1+x)求导数得到的。设g(x)=lnf(x)-ln(1+x)检验满足罗尔定理的条件很容易。代入就可以。
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