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【一道数学题,双曲线的,求全过程解!在线急求!已知双曲线:C:x方比a方-y方比b方=1(a》0,b》0),B是右顶点,F是左焦点,且满足:[OA][OB][OF]成等比数列,过F做双曲线在第1,3象限内渐近线的垂线L,垂】
更新时间:2024-04-26 20:08:18
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问题描述:

一道数学题,双曲线的,求全过程解!在线急求!

已知双曲线:C:x方比a方-y方比b方=1(a》0,b》0),B是右顶点,F是左焦点,且满足:[OA][OB][OF]成等比数列,过F做双曲线在第1,3象限内渐近线的垂线L,垂足为P

(1)求证:PA向量*OP向量=PA向量*FP向量

(2)若L与双曲线C的左右两支分别交于D,E,求双曲线C的离心率E的范围

葛杏卫回答:
  (1)证明:设右焦点F的坐标为(c,0)(c=√a2+b2)   由双曲线c的渐近线方程为y=±b/ax得直线l的方程y=-b/a(x-c)   由方程组y=bx/a   y=-b/a(x-c)   得点P(a2/c,ab/c)   ∵:[OA][OB][OF]成等比数列   ∴即[OB]2=[OA]*[OF]即a2=[OA]*c   ∴A点的坐标为(a2/c,0)   ∴向量PA=(0,-ab/c),向量OP=(a2/c,ab/c),   向量FP=(-b2/c,ab/c)   ∴PA向量*OP向量=-a2b2/c2   .PA向量*FP向量=-a2b2/c2   ∴PA向量*OP向量=PA向量*FP向量   (2)∵直线L与双曲线C的左右两支分别交于点D,E,   ∴直线L的斜率应大于渐近线y=-bx/a的斜率   即-a/b>b/a   推出e2>2推出e>√2
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