(1)证明:∵C是AD̂的中点,∴AĈ=CD̂,
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中,PC=PQ,
∵CE⊥直径AB,∴AĈ=AÊ
∴AÊ=CD̂
∴∠CAD=∠ACE.
∴在△APC中,有PA=PC,
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心.
∵CE⊥直径AB于F,
∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC=CFBF=34,CF=8,
得BF=43CF=323.
∴由勾股定理,得BC=CF2+BF2=403
∵AB是⊙O的直径,
∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC=ACBC=34,BC=403
得AC=34BC=10.
易知Rt△ACB∽Rt△QCA,∴AC2=CQ•BC
∴CQ=AC2BC=152.
(3)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G;
∴Rt△AFP∽Rt△GFB,
∴AFFG=FPBF,即AF•BF=FP•FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF,
∴CF2=AF•BF(或由射影定理得)
∴FC2=PF•FG
由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴(FP+PQ)2=FP•FG.(10分)
刚做这是老师的答案