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【数学题目已知:如图,△ABC内接于圆O,AB为直径,弦CE⊥AB于F,C是弧AD的中点,连接BD并延长交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、BC于点P,Q(1)求证:P是△ACO的外心,(2)若AC/CB=3/4,CF=8,求CQ的长(3】
更新时间:2024-05-04 13:05:55
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问题描述:

数学题目

已知:如图,△ABC内接于圆O,AB为直径,弦CE⊥AB于F,C是弧AD的中点,连接BD并延长交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、BC于点P,Q

(1)求证:P是△ACO的外心,

(2)若AC/CB=3/4,CF=8,求CQ的长

(3)求证:(FP+PQ)²=EP·PG

聂南回答:
  (1)证明:∵C是AD̂的中点,∴AĈ=CD̂,   ∴∠CAD=∠ABC   ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.   ∴∠CAD+∠AQC=90°   又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ=90°   ∴∠AQC=∠PCQ   ∴在△PCQ中,PC=PQ,   ∵CE⊥直径AB,∴AĈ=AÊ   ∴AÊ=CD̂   ∴∠CAD=∠ACE.   ∴在△APC中,有PA=PC,   ∴PA=PC=PQ   ∴P是△ACQ的外心.   ∵CE⊥直径AB于F,   ∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC=CFBF=34,CF=8,   得BF=43CF=323.   ∴由勾股定理,得BC=CF2+BF2=403   ∵AB是⊙O的直径,   ∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC=ACBC=34,BC=403   得AC=34BC=10.   易知Rt△ACB∽Rt△QCA,∴AC2=CQ•BC   ∴CQ=AC2BC=152.   (3)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°   ∴∠DAB+∠ABD=90°   又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G=90°   ∴∠DAB=∠G;   ∴Rt△AFP∽Rt△GFB,   ∴AFFG=FPBF,即AF•BF=FP•FG   易知Rt△ACF∽Rt△CBF,   ∴CF2=AF•BF(或由射影定理得)   ∴FC2=PF•FG   由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC   ∴(FP+PQ)2=FP•FG.(10分)   刚做这是老师的答案
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